تحقیق تاریخچه هندسه

دسته بندي : دانش آموزی و دانشجویی » دانلود تحقیق
لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
دسته بندی : وورد
نوع فایل :  word (..doc) ( قابل ويرايش و آماده پرينت )
تعداد صفحه : 9 صفحه

 قسمتی از متن word (..doc) : 
 

‏تاریخچه هندسه
‏واژه انگلیسی Geometry ( ‏هندسه ) از زبان یونانی ‏ریشه گرفته است. این کلمه از دو کلمه «جئو»ٍ به معنای زمین و «متری» به معنای ‏اندازه گیری تشکیل شده است.بنابراین هندسه ‏اندازه گیری زمین ‏است. مصریان ‏اولیه نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. هر سال رودخانة نیل طغیان ‏نموده و نواحی اطراف رودخانه راسیل فرا می‌گرفت.
‏این عمل تمام علایم مرزی میان ‏تقسیمات مختلف را از بین می‌برد و لازم می‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری ‏و مرزبندی نماید. آنها روشی از علامت‌گذاری زمین‌ها با کمک پایه‌ها و طناب‌ها ‏اختراع کردند. آنها پایه‌‌ای را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌کردند، پایه دیگری ‏در جایی دیگر نصب می‌شد و دو پایه توسط طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر ‏متصل می‌‌شدند.با دو پایه دیگر زمین محصور شده ، محلی برای کشت یا ساختمان سازی‌ ‏می‌گشت.
‏با برآمدن یونانیان اطلاعات ریاضی قدم به مرحله ای علمی گذاشت.در آغاز ‏تمام اصول هندسی ابتدایی بود. اما در سال 600 قبل از میلاد مسیح ، یک آموزگار ‏یونانی به نام ‏تالس‏، اصول هندسی را از ‏لحاظ علمی ثابت کرد.
‏تالس‌ ‏دلایل ثبوت برخی ‏از فرضیه‌ها را کشف کرد و آغازگر هندسة تشریحی بود. اما دانشمندی به نام ‏اقلیدس ‏که ‏در ‏اسکندریه ‏زندگی‌ می‌کرد ، هندسه را به صورت ‏یک علم بیان نمود.
‏وی حدود سال 300 قبل از میلاد مسیح ، تمام نتایج هندسی را که ‏تا به حال شناخته بود ، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در یک مجموعة 13 جلدی ‏قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند ، به مدت 2 هزار سال در سراسر دنیا ‏برای مطالعه هندسه به کار می رفتند.
‏براساس این قوانین ، ‏هندسه ‏اقلیدسی ‏تکامل یافت. هر چه زمان می گذشت ، شاخه های دیگری از هندسه توسط ‏ریاضیدانان مختلف ، توسعه می یافت.
‏امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این ‏علم را نظیر ‏هندسة تحلیلی ‏و ‏مثلثات‏، ‏هندسه ‏غیر اقلیدسی ‏و ‏هندسه ‏فضایی ‏مطالعه می کنیم.
‏خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام ‏دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار ‏کردند.قبل از ‏اقلیدس‏، ‏فیثاغورث( 572-500 ‏ق.م ) و ‏زنون ( 490 ‏ق.م. ) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده ‏بودند.
‏در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام ‏هیپارک‏، ‏مثلثات ‏را ‏اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی معمولی بابلی ها را برای پیرامون ‏دایره پذیرفت.به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه ‏را به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای ‏بعضی قوس‌ها را به دست می داد و این قدیمی ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته ‏شده است.
‏بعد از آن ‏دانشمندان هندی ‏موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در ‏قرن پنجم ‏میلادی ‏آپاستامبا‏، در ‏قرن ششم ‏، ‏آریاب هاتا ‏، در ‏قرن هفتم ‏،‏براهماگوپتا ‏و در ‏قرن نهم ‏،‏بهاسکارا ‏در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر ‏بودند.
‏هندسه تصويري :
‏فرض کنید دو ‏صفحه ‏و ‏در ‏فضا ‏داریم که لزوماً ‏موازی ‏یکدیگر ‏نیستند. در این صورت، برای به دست آوردن تصویر مرکزی ‏به روی ‏از مرکز مفروض ‏که در ‏یا ‏واقع نیست، ‏می‌توان تصویر هر ‏نقطه ‏از ‏را نقطه‌ای چون ‏از ‏تعریف کرد که ‏و ‏روی یک ‏خط راست ‏گذرنده از ‏قرار داشته ‏باشند.
‏همچنین می‌توان تصویر موازی را به این طریق به دست آورد که خطهای ‏تصویر کننده را ‏موازی ‏در نظر ‏بگیریم. همین‌طور تصویر یک ‏خط ‏در واقع ‏صفحه ‏به روی خط دیگری ‏چون ‏در ‏هم به صورت ‏تصویر مرکزی از یک نقطه ‏، و هم به صورت ‏تصویر موازی تعریف می‌شود. تبدیل یک شکل به شکل دیگر از طریق تصویر موازی یا مرکزی ‏و یا به وسیله رشته‌ای ‏متناهی ‏از این تصویر کردنها، ‏تبدیل ‏تصویری نامیده می‌شود.
‏هندسه ‏تصویری ‏صفحه ‏یا ‏خط ‏عبارت از ‏مجموعه ‏آن ‏گزاره‏‌های هندسی ‏است که بر اثر تبدیلهای تصویری دلخواه شکلها تغییری در صدق آنها پدید نمی‌آید. در ‏مقابل، ‏هندسه متری ‏به ‏مجموعه‏‌ای ‏از ‏گزاره‌‏ها، راجعه به اندازه‌های شکلها، اطلاق
‏می‌شود که فقط تحت حرکتهای ‏صلب ‏شکلها صادق می‌مانند.
..........................‏تصور کردن از یک نقطه......................................................................‏تصویرگری موازی
‏به بعضی از ویژگیهای تصویری ‏فوراً می‌توان پی‌برد. تصویر هر ‏نقطه‏، یک ‏نقطه ‏است. به علاوه، تصویر هر ‏خط راست‏، یک ‏خط راست ‏است زیرا اگر خط ‏واقع در ‏به روی صفحه ‏تصویر شود، ‏تقاطع ‏با ‏صفحه گذرنده از ‏و ‏، خط راست ‏خواهد بود. اگر ‏نقطه ‏و خط ‏راست ‏ملازم ‏هم باشند. آنگاه پس از هر عمل تصویر، نقطه متناظر ‏و خط متناظر ‏نیز ملازم ‏هم خواهند بود. پس ملازمت یک نقطه و یک خط تحت گروه تصویری ‏ناوردا‏ست. این واقعیت، پیامدهای ساده ولی ‏مهمی دارد. اگر سه یا تعداد بیشتری نقطه همخط باشند، یعنی ملازم با یک خط راست ‏باشند، تصویرهای آنها نیز همخط خواهند بود. همچنین اگر سه یا تعداد بیشتری خط راست ‏همرس باشند یعنی ملازم با یک نقطه باشند، تصویرهای آنها نیز خطهای راست همرسی ‏خواهند بود. در حالی که این ویژگیهای ساده – ملازمت،‌همخطی‌، و همرسی – ویژگیهای ‏تصویری (یعنی ویژگیهای ناوردا تحت عمل تصویر) هستند، اندازه‌های ‏طول ‏و ‏زاویه، ‏و نسبتهای چنین اندازه‌هایی، عموماً ‏بر اثر تصویر کردن تغییر می‌کنند. ‏مثلث‏های ‏متساوی‌الساقین ‏یا ‏متساوی‌الاضلاع ‏را می‌توان به ‏مثلث‏های ‏مختلف‌الاضلاع ‏تصویر کرد. پس اگر چه «‏مثلث» ‏مفهومی متعلق به ‏هندسه تصویری است، «‏مثلث متساوی‌الاضلاع» ‏چنین نیست و فقط به ‏هندسه متری ‏تعلق دارد.
‏برسي و اثبات پنجمين اصل موضوع هندسه اقليدسي
‏ 
‏همانطور كه ميدانيم در هندسه اقليدسي يكسري از مفاهيم اوليه نظير خط و نقطه تعريف شده بود و پنج اصل موضوع آنرا به عنوان بديهيات پذيرفته بودند و ساير قضايا را با استفاده از اين اصول استنتاج مي‌كردند . اما اصل پنجم چندان بديهي به‌نظر نمي‌رسيد . بنابر اصل پنجم اقليدس از يك نقطه خارج از يك خط ، يك خط و تنها يك خط مي‌توان موازي با خط مفروض رسم كرد . برخي از رياضيدانان مدعي بودند كه اين اصل را مي‌توان به‌عنوان يك قضيه ثابت كرد . در اين راه بسياري از رياضيدانان تلاش زيادي كردند ، ولي نتيجه‌اي نگرفتند .
‏ 
‏اشكالات وارد بر هندسه اقليدسي :
‏لازم به توضيح است كه تمامي اصول و مفاهيم هندسه اقليدسي تنها شامل نظريات خود اقليدس نمي‌شود بلكه اكثرا مجموعه‌اي جمع آوري شده از هندسه مصري‌ها و بابلي‌ها توسط اقليدس است . هندسه اقليدسي بر اساس پنج اصل موضوعه زير شكل گرفته و طبقه بندي شده است :
‏اصل اول - از هر نقطه مي‌توان خط مستقيمي به هر نقطه ديگري كشيد يا اينكه كوتاه‌ترين فاصله مابين دو نقطه يك پاره خط مستقيم است .
‏اصل دوم - هر پاره خط مستقيم را مي‌توان روي همان خط به‌طور نامحدود امتداد داد .
‏اصل سوم - مي‌توان دايره‌اي به هر نقطه دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم كرد .
‏اصل چهارم - همه زواياي قائمه با هم مساوي هستند .
‏اصل پنجم - از يك نقطه خارج يك خط ، يك و تنها يك خط مي‌توان موازي با خط مفروض رسم كرد .
‏طبق تعاريف فعلي " اصل پنجم اقليدس كه ايجاز ساير اصول را نداشت ، به هيچ وجه واجد صفت بديهي نبود . در واقع اين اصل بيشتر به يك قضيه شباهت داشت تا به يك اصل . بنابراين طبيعي بود كه لزوم واقعي آن به عنوان يك اصل مورد سوال قرار گيرد . زيرا چنين تصور مي‌شد كه شايد بتوان آن را به‌عنوان يك قضيه ، و نه يك اصل از ساير اصول استخراج كرد ، يا حداقل به‌جاي آن مي‌توان معادل قابل قبول‌تري قرار داد . در طول تاريخ بسياري از رياضيدانان از جمله خيام ، خواجه نصيرالدين توسي ، جان واليس ، لژاندر ، فور كوش بويوئي و ... تلاش كردند تا اصل پنجم اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه بگيرند و آن را به عنوان يك قضيه اثبات كنند ، اما تمام اين تلاش‌ها بي‌نتيجه بود و در اثبات دچار خطا مي‌شدند و يا به نوعي همين اصل را در اثبات خود بكار مي‌بردند . سرانجام دالامبر اين وضع را افتضاح هندسه ناميد ."
‏اما موضوع بسيار مهم اين است كه اشيا در دنياي فيزيكي با هندسه اقليدسي سازگارند و هندسه‌هاي نااقليدسي زير مجموعه‌اي از هندسه اقليدسي محسوب ميشوند به طور مثال يك مكعب را در نظر بگيريد كه در فضاي اقليدسي ، از نظر هندسي كاملا اقليدسي است و اگر كره محيط يا محاط آن را رسم كنيم داخل سطح كره با هندسه هذلولي و خارج سطح كره با هندسه بيضوي برسي و مطالعه ميشود و اينك براي اثبات اصل پنجم هندسه اقليدسي چه كاري ميتوان انجام داد . در اين مبحث به استناد اصول و مفاهيم تعريف شده در حيطه هندسه اقليدسي سعي در ارايه راهكاري براي اثبات اين اصل مي‌كنيم .
‏ 
‏ 
‏خط يا پاره خط  BC‏  و نقطه A‏ خارج از آن خط و هر دو را روي صفحه P‏  در نظر مي‌گيريم . روي خط  BC‏ نقطه دلخواه D‏ را انتخاب و دايره دلخواه C1‏  را رسم مي‌كنيم البته شعاع اين دايره ميبايست كمتر از AD‏ باشد . بديهي است كه اين دايره ، خط
BC‏ را در دو نقطه 1 و 2 قطع خواهد كرد ( يعني اين دايره را بايد چنان رسم كنيم كه روي صفحه P‏ بوده و اين دو تقاطع بوجود آيند ) . از نقطه A‏ دايره C2‏ را به شعاع AD‏  رسم مي‌كنيم . بديهي است كه اين دايره ، محيط دايره C1‏ را در دو نقطه 3 و 4 قطع خواهد كرد ( يعني اين دايره را بايد چنان رسم كنيم كه روي صفحه P‏ بوده و اين دو تقاطع بوجود آيند ) و چون سه نقطه‌ از هر دايره ( مركز و نقاط 3 و 4 ) بر روي صفحه  P‏ واقع شده‌اند و اين سه نقطه بر روي يك خط مستقيم نيستند ( براي اينكه محيط دايره C2‏ يك منحني و كمان است ) ، مسلما اين  دو دايره بر روي صفحه P‏ قرار گرفته‌اند ، زيرا شرط اينكه دو شكل در روي يك صفحه قرار گيرند اين است كه دست كم سه نقطه از آنها بروي آن صفحه واقع شده باشند و البته اين سه نقطه بر روي خط مستقيمي واقع نشده باشند . اينك شرط اينكه دو خط با هم موازي باشند اين است كه اولا هر دوي آنها روي يك صفحه باشند و دوما اينكه آن دو خط زواياي مساوي ( ترجيحا قائمه ) در تقاطع با خط مستقيم متقاطع سومي داشته باشند . اينك عمود AE‏ بر خط  BC‏ را رسم مي‌كنيم و خط يا پاره خط FG‏ را چنان رسم مي‌كنيم كه اولا دايره C2‏ را در دو نقطه 5 و 6 قطع كرده و از نقطه  A‏ مركز دايره عبور كرده و دوما بر AE‏ عمود باشد . همانطور كه ميدانيم خط FG‏  دست كم دو نقطه بر روي صفحه P‏  داشته و بر روي صفحه P‏ واقع شده و با خط BC‏ موازي است . حال اگر خط FG‏  را حول نقطه A‏ و روي صفحه P‏ به چرخانيم زاويه FAE‏ بزرگتر و يا كوچكتر از زاويه BEA‏  شده و شرط دوم موازي بودن دو خط منتفي ميشود و اگر FG‏  در نقطه A‏ حول محور AE‏ دوران داشته باشد ، خط  FG‏  دو تقاطع 5 و 6 با دايره C2‏ را از دست مي‌دهد ، بنابراين خط FG‏  از صفحه P‏ خارج و شرط اول موازي بودن دو خط منتفي ميشود . پس ميتوان فهميد و نتيجه گرفت كه خط  FG‏  انحصاري بوده و از يك نقطه خارج يك خط ، يك و تنها يك خط مي‌توان موازي با خط مفروض رسم كرد .
‏ 
‏اينك اين سوال مطرح ميشود كه چرا ما بايد اين اصل پنجم را ثابت كنيم ؟
‏علت بر اين است كه در هندسه اقليدسي هر پاره خط مستقيمي ميتواند بيانگر يك عدد باشد كه بيانگر طول واقعي آن بوده و مربع و مكعب آن مقدار درستي در محاسبات رياضي است ولي در هندسه‌هاي نااقليدسي چنين نيست براي اينكه طول واقعي يك منحني ميتواند يك عدد باشد ولي اين منحني نمي‌تواند حتما و لزوما بيانگر همان عدد باشد ، براي اينكه انحنا يافته است و طول منحني بيشتر از فاصله دو سر منحني ميباشد و اين دو مقدار با هم نامساوي هستند . به طور مثال در هندسه اقليدسي يك مربع به ضلع 1 متر بيانگر يك متر مربع است و يك مكعب به ضلع 1 متر بيانگر يك متر مكعب است ولي در هندسه‌هاي نااقليدسي اين مقدار‌ها متفاوت است كه نياز به در نظر گرفتن ضريبي مبني بر درصد خطا در محاسبات داريم . اصولا انحنا در هندسه‌هاي نااقليدسي ، به طور كلي نسبت به يك خط راست اقليدسي مشخص و نسبت به يك دايره با شعاع واحد واقع بر يك صفحه مسطح اقليدسي سنجيده ميشود و صحت هندسه‌هاي نااقليدسي در گرو صحت هندسه اقليدسي است .
‏در هندسه هذلولي مقادير عددي مربوط به توان كمتر از مقادير عددي مربوط به توان در هندسه بيضوي است .
‏